量子动力学是一个非常深刻且核心的物理学领域，它研究量子系统如何随时间演化。推演量子动力学的过程，就是从最基本的量子力学公设出发，建立起一套描述系统变化的数学框架。

　　推演量子动力学的过程，可以概括为一个从核心公设出发，通过选择不同的数学绘景来求解系统的态与算符随时间演化，并最终计算出可观测量的流程。其核心框架与推演路径如下图所示：

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　　A[量子动力学推演核心框架]--> B[“核心公设:薛定谔方程“]

　　A --> C[“数学工具:希尔伯特空间/算符“]

　　B & C --> D{选择绘景}

　　D --最常用--> E[“薛定谔绘景

　　态矢量随时间演化|Ψ(t)⟩“]

　　D --更直观--> F[“海森堡绘景

　　算符随时间演化Â_H(t)“]

　　D --适用于微扰--> G[“相互作用绘景

　　态与算符部分演化“]

　　E --> H[“求解含时薛定谔方程

　　iħ d/dt |Ψ(t)⟩=Ĥ|Ψ(t)⟩“]

　　F --> I[“求解海森堡运动方程

　　dÂ_H/dt =(iħ)⁻¹[Â_H，Ĥ]+(∂Â/∂t)“]

　　G --> J[“使用戴森级数进行微扰计算“]

　　H & I & J --> K[“计算可观测量随时间演化

　　⟨O(t)⟩=⟨Ψ(t)|Ô|Ψ(t)⟩或⟨Ψ|Ô_H(t)|Ψ⟩“]

　　K --> L[“物理应用

　　辐射跃迁/量子隧穿/弛豫过程“]

　　第一部分：核心公设与概念

　　量子动力学的推演建立在几个基本公设之上：

　　系统状态：一个量子系统的状态由一个希尔伯特空间中的态矢量|Ψ⟩完全描述。

　　可观测量：力学量（如位置、动量、能量）由希尔伯特空间上的厄米算符表示。

　　测量公设：对可观测量的测量会使得系统态坍缩到该算符的某个本征态，测量值为对应的本征值。

　　动力学公设（薛定谔方程）：系统态随时间的演化由薛定谔方程 governing：

　　iħ(∂/∂t)|Ψ(t)⟩=Ĥ|Ψ(t)⟩

　　这是量子动力学最根本的出发点。

　　Ĥ是系统的哈密顿算符，对应于系统的总能量。

　　i是虚数单位。

　　ħ是约化普朗克常数(h / 2π)。

　　第二部分：推演的核心——三种绘景

　　“绘景”是不同的数学框架，它们处理“时间演化”这个责任分配给“态矢量”和“算符”的方式不同。所有绘景给出的物理预言（可观测量的期望值）是完全一致的，只是计算的方便程度不同。

　　1.薛定谔绘景-态演化

　　这是最直观、教科书中最常见的绘景。

　　核心思想：

　　算符Â_S是静止的（不随时间变化，除非有显式时间依赖）。

　　态矢量|Ψ_S(t)⟩是运动的，随时间演化。

　　推演任务：求解薛定谔方程 iħ d/dt |Ψ_S(t)⟩=Ĥ|Ψ_S(t)⟩。

　　形式解：

　　如果Ĥ不显含时间，解可以写为：|Ψ_S(t)⟩=Û(t)|Ψ_S(0)⟩

　　其中Û(t)= exp(-iĤt/ħ)称为时间演化算符。它是一个幺正算符，保证了概率守恒。

　　如何计算可观测量：可观测量 O的期望值随时间变化为：

　　⟨O⟩(t)=⟨Ψ_S(t)|Â_S |Ψ_S(t)⟩

　　2.海森堡绘景-算符演化

　　这个绘景更接近于经典力学的思想。

　　核心思想：

　　态矢量|Ψ_H⟩是静止的（恒等于初始态|Ψ_S(0)⟩）。

　　算符Â_H(t)是运动的，随时间演化。

　　推演任务：求解海森堡运动方程。

　　通过幺正变换，可以推导出算符Â_H(t)的演化方程：

　　d/dtÂ_H(t)=(iħ)⁻¹[Â_H(t)，Ĥ_H]+(∂Â_S/∂t)_H

　　如果算符在薛定谔绘景中不显含时间(∂Â_S/∂t = 0)，方程简化为：

　　d/dtÂ_H(t)=(iħ)⁻¹[Â_H(t)，Ĥ_H]

　　这个方程与经典力学中的哈密顿正则方程 dA/dt ={A， H}形式高度相似，只是泊松括号{，}换成了对易子[，]/ iħ。这深刻体现了量子力学与经典力学的对应关系。

　　如何计算可观测量：期望值的计算公式变为：

　　⟨O⟩(t)=⟨Ψ_H |Â_H(t)|Ψ_H⟩

　　因为态矢量不变，所有的时间依赖性都转移到了算符上。

　　3.相互作用绘景（狄拉克绘景）

　　当哈密顿量可以写成Ĥ=Ĥ_0 +Ĥ_int时，这个绘景非常强大。其中Ĥ_0是容易求解的部分，Ĥ_int是复杂的相互作用部分。

　　核心思想：“各演各的”。

　　将态矢量的自由演化（由Ĥ_0主导）和相互作用演化（由Ĥ_int主导）分离开。

　　态矢量|Ψ_I(t)⟩只由相互作用Ĥ_int驱动演化。

　　算符Â_I(t)由自由部分Ĥ_0驱动演化，遵循类似海森堡的方程：dÂ_I/dt =(iħ)⁻¹[Â_I，Ĥ_0]。

　　推演任务：求解相互作用绘景下的薛定谔方程：

　　iħ d/dt |Ψ_I(t)⟩=Ĥ_int^I(t)|Ψ_I(t)⟩

　　注意，这里的相互作用哈密顿量Ĥ_int^I(t)本身也是一个随时间演化的算符（因为它在相互作用绘景中）。

　　主要工具-戴森级数：上述方程通常没有精确解，需要微扰论。其形式解可以写为戴森级数：

　　Ψ_I(t)⟩=[1 +(1/iħ)∫₀ᵗ dt₁Ĥ_int^I(t₁)+(1/iħ)²∫₀ᵗ dt₁∫₀^{t₁} dt₂Ĥ_int^I(t₁)Ĥ_int^I(t₂)+...]|Ψ_I(0)⟩

　　这个级数是量子场论和高等量子力学中微扰计算的基础。

　　第三部分：推演流程总结与应用

　　一个典型的量子动力学推演流程是：

　　定义系统：写出系统的完整哈密顿量Ĥ。

　　选择绘景：根据问题的方便性选择最合适的绘景。

　　薛定谔绘景：适用于简单系统，能直接求解波函数。

　　海森堡绘景：适用于讨论算符的演化、对称性，以及与经典力学的类比。

　　相互作用绘景：适用于微扰论，尤其是在Ĥ_int <<Ĥ_0时。

　　建立运动方程：写出对应绘景下的演化方程（薛定谔方程、海森堡方程等）。

　　求解方程：

　　解析解：对于可积系统，如谐振子、氢原子、二能级系统等。

　　微扰论：对于弱相互作用系统，使用戴森级数展开。

　　数值方法：对于复杂系统，使用计算机数值求解薛定谔方程（如劈裂算符法、Crank-Nicolson方法等）。

　　计算可观测量：通过求期望值⟨Ψ|Ô|Ψ⟩，得到物理量（如粒子位置、动量、粒子数布居、关联函数）随时间的变化。

　　应用实例：

　　量子隧穿：计算一个粒子穿过势垒的概率流随时间的变化。

　　激光与原子相互作用：用二能级系统模型，使用相互作用绘景和旋波近似，推导出拉比振荡——粒子布居数在两个能级之间以一定的频率周期性振荡。

　　核磁共振：磁矩在静磁场和射频场中的演化，可以用海森堡绘景很好地描述。

　　量子信息：量子比特的逻辑门操作本质上就是通过控制哈密顿量Ĥ(t)来对态矢量进行受控的幺正演化Û(t)。

　　总而言之，量子动力学的推演是一个从基本原理出发，通过严谨的数学框架，来预言和解释微观世界随时间变化的丰富现象的过程。其核心就在于求解各种形式的演化方程。